Hartshorne 一章, 問題2.13

Let Y be the image of the 2-uple embedding of \mathbb{P}^2 in \mathbb{P}^5. This is the Veronese surface. If Z \subseteq Y is a closed curve (a curve is a variety of dimension 1), show that there exists a hypersurface V \subseteq \mathbb{P}^5 such that V \cap Y = Z.

Proof. The Veronese embedding is defined by v_2\colon \mathbb{P}^2 \hookrightarrow \mathbb{P}^5, (x_0:x_1:x_2) \mapsto (x_0^2,x_1^2,x_2^2,x_0x_1,x_1x_2,x_2x_0). If Z is defined by f(x_0,x_1,x_2) = 0, then f^2 \in k[x_0^2,x_1^2,x_2^2,x_0x_1,x_1x_2,x_2x_0], and so defines a hypersurface V \subseteq \mathbb{P}^5. Thus Z = v_2(Y) = V \cap Y.

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