Kollár/Smith/Corti 一章, 問題1.9

Let k'/k be a purely inseparable extension of degree p^a. Let C be a smooth curve in \mathbb{A}^n_{k'} and let P be a k'-point of C. Prove that the divisor p^aP can be defined by polynomials in k[x_1,\ldots,x_n].

Proof. Let f = \sum a_Ix^I \in k'[C] vanish at P with multiplicity one. Then, f^{p^a} = \sum a_I^{p^a}x^I \in k[C] vanishes at P with multiplicity p^a.

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